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用栈实现一个数据结构可以实现如下操作：

1、将数据进栈，出栈，并且按照FILO的原则；

2、查看栈顶，查看栈中最大值；

3、删掉栈中最大值。

基本思路是用两个栈，其中一个栈 $s_1$ 存原本的数据，另开一个单调栈 $s_2$ ，存所有遇到的最大值。这样即使在原栈中的最大值pop掉，也能通过在第二个栈里找到剩余数字的最大值。具体考虑如下：

1、push的时候，对于

s_1

只需直接进栈即可，对于

s_2

，要看一眼新来的数是否大于等于栈顶，如果是，则进栈，否则不进栈。这样的考虑在于记录当前栈中的最大值，注意，即使新来的数等于栈顶，仍然需要进栈，这是为了记录这个最大值出现了多少次；

2、pop的时候，对于

s_1

仍然是直接pop，对于

s_2

则需要看一下从

s_1

里pop的是否是当前最大值，如果是，则将

s_2

也pop，否则不动；

3、top和peekMax就直接看两个栈的栈顶即可；

4、对于popMax，需要先用一个变量存一下当前最大值是多少，也就是

s_2

的栈顶，然后另外开一个临时栈，把

s_1

上面的数字全倒进去，直到pop出

s_1

里的最大值，此时也要pop出

s_2

，然后再调用1里面的push方法把数字再进栈。注意，一定要调用MaxStack的push方法而不是调用

s_1

的push方法，这是因为倒出来的数字里可能有次大值，而那个单调栈只是存放了

s_1

从最大值到栈底的数字里的最大、次大等等值，并没有存放最大值到栈顶的数字信息；调用push的目的就是把这些信息也存到

s_2

里。代码如下：

import java.util.ArrayDeque;import java.util.Deque;public class MaxStack {           Deque
   
     stk, maxStk;        public MaxStack() {           stk = new ArrayDeque<>();        maxStk = new ArrayDeque<>();    }        public void push(int x) {           stk.push(x);        if (maxStk.isEmpty() || maxStk.peek() <= x) {               maxStk.push(x);        }    }        public int pop() {           int x = stk.pop();        if (!maxStk.isEmpty() && x == maxStk.peek()) {               maxStk.pop();        }                return x;    }        public int top() {           return stk.peek();    }        public int peekMax() {           return maxStk.peek();    }        public int popMax() {           Deque
    
      tempStk = new ArrayDeque<>();        int x = maxStk.pop();        while (!stk.isEmpty() && stk.peek() < x) {               tempStk.push(stk.pop());        }                stk.pop();        while (!tempStk.isEmpty()) {           	// 调用MaxStack的push方法，把倒出来的数字再倒回去            push(tempStk.pop());        }                return x;    }}

空间 $O (n)$ ，时间复杂度只有popMax是 $O (n)$ ，其余都是 $O (1)$ 。

算法正确性证明的关键在于，证明 $s_2$ 存放的是 $s_1$ 里从最大值到栈底的最大、次大等等值，出现次数一样并且单调递减排列。可以用数学归纳法，这里省略。

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